İkİncİ Dereceden Bİr Bİlİnmeyenlİ DenklemİKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM
TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir.
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır.
ÖRNEK: 2y2 –5y+1 = 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir.
ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır.
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur.
KÖK BULMA
1.ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduğuna göre x1 + x2 toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x – 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür.
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2 . 42-x –18 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: 4x + 2 . 42-x –18 = 0
4x + 2 . 42 . 4-x –18 = 0
1
4x + 32 . 4x –18 = 0
(4x)2 –18 .(4x ) + 32 = 0
-16 -2
(4x –16) . (4x –2) = 0
4x –16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x –2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur.
a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;
c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diğeri a dır.
- c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diğeri a dır.
ÖRNEK: 9x2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduğundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = - 8 dur.
9
nÖRNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m –n + 2, c = -n ve
b = a + c olduğundan denklemin köklerinden biri -1 dir.
Diğer kök 6 olduğundan kökler toplamı
-1 + 6 = 5 olur.
nax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz.
n∆ = b2 –4ac
ni) ∆ < 0 ise reel kök yoktur.
nii) ∆ = 0 ise kökler eşittir. (x1 = x2)
niii) ∆ > 0 ise iki farklı reel kök vardır.
n ∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
n -b + -b
n x1 = 2a ve x2 = 2a şeklinde bulunur.
nÖRNEK: x2 – 4x + m + 1 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM: Denklemin eşit iki kökün olması için ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = (-4)2 –4 .1. (m + 1)
0 = 16 –4m = 12 –4m
m = 3 bulunur.
nÖRNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
ndenklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)
ÇÖZÜM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = 4. (a + 7)2 –4 . 27 . (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(-13)
a1 + a2 = - 1 = 13 olur.
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır.
ii) Simetrik iki reel kökünün olması için,
b = 0 ve a .c > 0 olmalıdır.
ÖRNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, a kaçtır?
ÇÖZÜM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olması için,
a2 –4 = 0 ve 4 .a > 0 olmalıdır.
a2 –4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir.
4.a < 0 => a < 0 olmalıdır. O halde a = -2 olur.
KÖKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1 . x2 = a
3)|x1 - x2| = |a|
1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1 . x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2
6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12 . X22
b2 –2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 –3x .x2(x + x2)
3abc-b3
= a3
ÖRNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?
ÇÖZÜM: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1 . x2 = a => p .q= 2
2pq = p2 + q2 p2 –2pq + q2 = 0
(p – q)2 = 0 ise
p – q = 0
p = q dur.
O halde, kökler eşit olduğundan ∆=0 dır.
ÖRNEK: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre
a’ nın hangi değeri için x1 + x2 + x1 . x2 = 5 olur?
ÇÖZÜM: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1 . x2 = a dır. O halde,
x1 + x2 + x1 . x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur.
ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denklemin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır.
ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3x2
c x1x2 = a => x1x2 = -3x2 x1 = -3 tür.
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 –4
x2 = -2x1 –4
x2 = -2(-3) –4
x2 = 2 olur.
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur.
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a . (x – x1) . (x – x2) = 0 dir. Bu denklem düzenlenirse,
x2 –(x1 + x2) . x + x1 . x2 = 0 denklemi elde edilir.
ÖRNEK: Kökleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?
ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 dır.
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 – (-2 + 3)x + (-2) . 3 = 0
x2 –x -6 = 0 olur.
EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ f(x)
f(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb. eşitsizliklerinin her birini çözebilmek için aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur.
2)Bulunan köklerin sayı adedi incelenir.
a.Bir kökün sayı adedi tek ise, bu köke tek katlı kök denir ve sayı doğrusunda tek çizgi ile gösterilir.
b.Bir kökün sayı adedi çift ise bu köke çift katlı kök denir ve sayı doğrusunda çift çizgi ile gösterilir.
3)Bulunan kökler, sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralanır ve tek-çift katlı kökleri belirtilir.
4)Her bir çarpanın en büyük dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak çarpılır ve bir işaret bulunur.
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir ve çift katlı köklerden geçerken işaret değiştirilmez.
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur.
ÖRNEK: (x-1) . (3-x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduğundan tek katlı köklerdir.
3) x -∞ 1 3 +∞
- + -
0 0
(+).(-) = (-)
Ç.K= {x * 1≤ x ≤ 3, x € R}
ÖRNEK: (x+2) . (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x –2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduğundan, tek katlı köklerdir.
3) x -∞ -2 -1 2 +∞
- + - +
0 ∞ 0
4)(+) . (+) . (+) = (+)
Ç = {x € |R : x ≤ -2 veya –1 < x ≤ 2} dir.
Eşitsizliklerde n € Z olmak üzere, (x – a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir. Bu durumda, sadece içlerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir.
(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0
eşitsizliğini çözmek yerine
x2 + 3x –4 < 0
eşitsizliğini çözmek yeterlidir.
Ayrıca, (3 –x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalıdır.
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x –4 + - +
İstenen eşitsizliğin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur.
İçinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir.
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
eşitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur.
nÖRNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5
Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim.
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) - - - + -
(1-x)(5+x) - + - - -
İşaret tablosunda görüldüğü gibi, birinci eşitsizliğin (-), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bölge [-5, 1] aralığıdır. O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir.
i)ax2 + bx + c > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a > 0 ve ∆ = b2 – 4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞
+
ii)ax2 + bx + c < 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a < 0 ve ∆ = b2 –4ac <0 olmalıdır.
-∞ +∞
-
ÖRNEK: (m –2)x2 + (m –2)x + m –1 < 0
eşitsizliği x € R için sağlanıyor ise m nedir?
ÇÖZÜM: (m-2)x2 + (m –2 )x + m –1
a = m –2, b = m –2, c = m –1
a < 0 ve ∆ < 0 olmalıdır.
a = m –2 < 0 => m < 2 ............... 1
∆ = b2 –4ac < => (m –2)2 –4(m –2) . (m –1) < 0
(m –2) (m –2 –4m + 4) < 0
(m –2) (-3m + 2) < 0
(m –2) (-3m + 2) ifadesinin işaret tablosuna bakılırsa,
2
m -∞ 3 2 +∞
- + -
(m –2) (-3m + 2) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi m < 3 veya m > 2dir..........2
1 ve 2 yi sağlayan m değerleri m < 2 dür.
3
BİR k REEL SAYISININ İKİNCİ DERECE DENKLEMİNİN KÖKLERİYLE KARŞILAŞTIRILMASI
nf(x) = ax2 + bx +c denkleminin kökleri arasında x1 < x2 ve k € R olsun.
ni) x1 < k < x2 ise a . f(k) < 0 dır.
nii) k < x1 < x2 ise,
a) ∆ > 0 b) a . f(k) > 0 c) k < -b olmalıdır.
2aniii) x1 < x2 < k ise
a) ∆ > 0
b) a . f(k) > 0 c) k > -b olmalıdır.
2a
iv) a . f(k) = 0 ise, k köklerden birine eşittir. Bu durumda aşağıdaki üç maddeye bakılır.
-b
a)k > 2a ise x1 < k = x2
-b
b)k < 2a ise k = x1 < x2
-b
c)k = 2a ise k = x1 = x2 dir olur.
ÖRNEK: x2 –(m + 1)x + m = 0 denkleminin
0 < x1 < 2 < x2 koşulunu sağlayan iki kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır?
ÇÖZÜM: f(x) = x2 –(m + 1)x + m
x1 < 2 < x2 => a . f(2) < 0
=> 1 . (22 –2m –2 + m) < 0
=> -m + 2 < 0 => m > 2 dır.
ÖRNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir.
x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 olması için p’nin alabileceği değerler nedir?
ÇÖZÜM: Denkleminin kökleri x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 şartlarını sağladığına göre,
x1x2 < 0 ve x1 + x2 < 0 dır.
c 5(p – 2)
x1x2 = a = p + 6 < 0 ...................... (1)
-b 17(p + 1)
x1 + x2 = a = p + 6 < 0...................(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –2) = 0
p -6 -1 2
x1x2 + - - +
x1 + x2 - + - -
Ç
Ç = (-1 , 2) dir.
