20 Mart 2009 Cuma
KarmaŞik (kompleks) Sayilar
KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b R ve -1 = i } dir.
( i = -1 i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = 3 + i Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ ‘NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 a = 5
2b + 3 = a + b 2b + 3 = 5 + b b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 a =2,
a + b + 3 = 0 2 + b + 3 = 0 b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a – 1 = 8 3a = 9 a = 3 ve
-3b = -2 b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )
Örnek:
Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i
Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)
= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )
= ac – bd + ( ad + bc )i
Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.
Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:
a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)
= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.
b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir.
Örnek:
( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
= = =
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.
Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
= = = = = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a – bi
= = dir.
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
=
Z3 z3
Örnek:
3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.
Çözüm:
3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2
Örnek:
1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i
Çözüm:
1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i
F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.
3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,
1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.
Çözüm:
1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)
0 ree eksen 0
1 1
G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y
noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
z
mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir. x
a
Z = a + bi Z= a2 + b2 dir.
Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i Z
Z = 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:
Z = ( a + 2 ) + 3i
Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
____________
Z= 5 ( a + 2 )2 + 32 = 5 ( a + 2 )2 + 32 = 52 ( a + 2 )2 = 16
olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.
a + 2 = 4 a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 a = -6 dır.
H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) Z= -Z= Z=-Z=i.Z=-i.Z=...
2) Z1.Z2= Z1.Z2
3) Z1 Z1
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 Z2
4) Zn = Zn
_
5) Z . Z = Z2
6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2
Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?
1 + i
Çözüm:
3 – 3i sayısının mutlak değeri, 32 + 32 = 32 dir.
1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir. O halde,
3 – 3i 32
Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
1 + i 2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 2 + ni
Z2 = 1 + 2i
_______
Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?
Çözüm:
Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.
Z1 + Z2 = 5 32 + (n + 2)2 = 5 32 + (n + 2)2 = 52 (n + 2)2 = 42 olduğundan,
n + 2 = 4 n = 2 veya
n + 2 = -4 n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,
1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?
1 + xi
Çözüm:
Z10 = Z10 dur.
1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir. Buna göre,
1 - xi
Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir.
1 + xi
1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,
Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.
2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
Örnek:
A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
Z = x + yi olsun, y
Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
x + yi – 4 – 3i= 2
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.
Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.
SORULAR
1) i = -1 olmak üzere
-2 . -8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
(-3)2
Çözüm:
-2 . -8 + 1 -1. 2. -1.8 + 1 i. 2.i.22 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
(-3)2 -3 3 3 3
2) i = -1 olmak üzere,
i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.
Çözüm:
i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,
i-5 = i-5+8 = i3 = -i,
i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i
3) i2 = -1 olmak üzere,
2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1
Çözüm:
2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1
2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2
4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 – i 2 + i
Çözüm:
1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)
5) x < 0 olmak üzere,
Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x
Z = -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)
Z = -1 . x - 1 + x
Z = x + (1 – x)i bulunur.
Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.
Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1
6) i = -1 olmak üzere,
Z1 = a + i
Z2 = 2 – i
______
Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?
Çözüm:
Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
Z1 – Z2= 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 22 (a – 2) 2 = 0 a = 2
7) i = -1
i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z
Çözüm:
i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i Z = ¾¾ Z = ¾ Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)
Z2003 = i2003 = i3 = - i
8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?
Çözüm:
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i
-x + (2x + y)i = 2 – 3i
-x = 2 x = -2 ve 2x + y = -3 -4 + y = -3 y = 1
Z = -2 + i ve Z = 5
9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.Z Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z - Z i
Çözüm:
_
Z = x + yi Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi
Z2 = ( x2 + y2 )2 = x2 + y2
ve Re(Z) – İm(z) = x – y .
_
2.Z Z + Z 2.Z 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ ¾¾¾¾ = ¾¾ (x + y)2 = 0 x – y = 0
Z - Z i Z - Z i
10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < -x B) y <> x D) y > -x E) 2y > -x
Çözüm:
Z – 3i < Z + 3
x + yi – 3i < x + yi + 3
x + (y – 3)i < (x + 3) + yi
x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2
-6y < 6x
y > -x
KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b R ve -1 = i } dir.
( i = -1 i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = 3 + i Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ ‘NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 a = 5
2b + 3 = a + b 2b + 3 = 5 + b b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 a =2,
a + b + 3 = 0 2 + b + 3 = 0 b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a – 1 = 8 3a = 9 a = 3 ve
-3b = -2 b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )
Örnek:
Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i
Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)
= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )
= ac – bd + ( ad + bc )i
Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.
Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:
a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)
= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.
b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir.
Örnek:
( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
= = =
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.
Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
= = = = = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a – bi
= = dir.
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
=
Z3 z3
Örnek:
3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.
Çözüm:
3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2
Örnek:
1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i
Çözüm:
1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i
F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.
3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,
1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.
Çözüm:
1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)
0 ree eksen 0
1 1
G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y
noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
z
mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir. x
a
Z = a + bi Z= a2 + b2 dir.
Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i Z
Z = 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:
Z = ( a + 2 ) + 3i
Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
____________
Z= 5 ( a + 2 )2 + 32 = 5 ( a + 2 )2 + 32 = 52 ( a + 2 )2 = 16
olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.
a + 2 = 4 a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 a = -6 dır.
H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) Z= -Z= Z=-Z=i.Z=-i.Z=...
2) Z1.Z2= Z1.Z2
3) Z1 Z1
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 Z2
4) Zn = Zn
_
5) Z . Z = Z2
6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2
Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?
1 + i
Çözüm:
3 – 3i sayısının mutlak değeri, 32 + 32 = 32 dir.
1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir. O halde,
3 – 3i 32
Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
1 + i 2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 2 + ni
Z2 = 1 + 2i
_______
Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?
Çözüm:
Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.
Z1 + Z2 = 5 32 + (n + 2)2 = 5 32 + (n + 2)2 = 52 (n + 2)2 = 42 olduğundan,
n + 2 = 4 n = 2 veya
n + 2 = -4 n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,
1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?
1 + xi
Çözüm:
Z10 = Z10 dur.
1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir. Buna göre,
1 - xi
Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir.
1 + xi
1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,
Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.
2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
Örnek:
A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
Z = x + yi olsun, y
Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
x + yi – 4 – 3i= 2
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.
Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.
SORULAR
1) i = -1 olmak üzere
-2 . -8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
(-3)2
Çözüm:
-2 . -8 + 1 -1. 2. -1.8 + 1 i. 2.i.22 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
(-3)2 -3 3 3 3
2) i = -1 olmak üzere,
i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.
Çözüm:
i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,
i-5 = i-5+8 = i3 = -i,
i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i
3) i2 = -1 olmak üzere,
2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1
Çözüm:
2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1
2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2
4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 – i 2 + i
Çözüm:
1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)
5) x < 0 olmak üzere,
Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Z = -x2 + 2x –1 + -x+ 2x
Z = -1.(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)
Z = -1 . x - 1 + x
Z = x + (1 – x)i bulunur.
Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.
Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1
6) i = -1 olmak üzere,
Z1 = a + i
Z2 = 2 – i
______
Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?
Çözüm:
Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
Z1 – Z2= 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 2 (a – 2)2 + (-2)2 = 22 (a – 2) 2 = 0 a = 2
7) i = -1
i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z
Çözüm:
i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i Z = ¾¾ Z = ¾ Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)
Z2003 = i2003 = i3 = - i
8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?
Çözüm:
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i
-x + (2x + y)i = 2 – 3i
-x = 2 x = -2 ve 2x + y = -3 -4 + y = -3 y = 1
Z = -2 + i ve Z = 5
9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.Z Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z - Z i
Çözüm:
_
Z = x + yi Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi
Z2 = ( x2 + y2 )2 = x2 + y2
ve Re(Z) – İm(z) = x – y .
_
2.Z Z + Z 2.Z 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ ¾¾¾¾ = ¾¾ (x + y)2 = 0 x – y = 0
Z - Z i Z - Z i
10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < -x B) y <> x D) y > -x E) 2y > -x
Çözüm:
Z – 3i < Z + 3
x + yi – 3i < x + yi + 3
x + (y – 3)i < (x + 3) + yi
x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2
-6y < 6x
y > -x
Google da bu haberi ara
Etiketler:
KarmaŞik (kompleks) Sayilar
Yorum Gönder